Widerstandberechnung in einem Netz zur digitalen Spannungsvorgabe

Dieses Netzwerk kann verwendet werden, um eine digitale Spannungsanpassung zu realisieren.

Durch Verändern des Widerstandes Rref kann die Ausgangsspannung Uout verändert werden, indem ein (Schalt-)Regler Uref auf eine konstante Spannung einregelt.

Durch Öffnen/Schliessen der Schaler S1 bis S4 können 16 verschiedene Widerstände Rref und somit Ausgangsspannungen eingestellt werden. Als Schalter kann ein Analog-Schalter wie der 4066 zum Einsatz kommen. Die Schalter sind entweder offen oder geschlossen und haben im letzteren Fall einen Widerstand RS.
Beim 4066 ist RS abhängig von der Betriebsspannung und bei 5 Volt ca. 200 Ω.

Die Ausgangsspannung Uout soll den Bereich von Umin bis Umax überdecken, und zwar in möglichst gleich grossen Schritten.

Gesucht sind die Werte der Widerstände R0 bis R4.

Das Problem bei der Berechnung ist zum einen ein recht unübersichtlicher, nichtlinearer Zusammenhang zwischen Uout und R0...R4. Zum anderen sind die 5 Werte R0...R4 durch die 16 vorgegebenen Ausgangsspannungen überbestimmt. Daher sind Werte für R0...R4 zu finden, die einer optimalen Lösung möglichst nahe kommen.

Uout linear      Uout geometrisch

Erklärung der Werte.
In eckigen Klammern ist jeweils die Einheit notiert.

n
Der Index. Ist Bit i in n gesetzt, dann ist Si geschlossen, ansonsten ist Si geöffnet.
Usoll [V]
Die Sollspannung, die sich aus einer linearen bzw. geometrischen Unterteilung des Ausgangsspannungs-Intervalls ergibt. Eine lineare Unterteilung versucht die Differenzen Un+1-Un konstant zu halten, während bei geometrischer Aufteilung versucht wird, dies für die Verhältnisse Un+1/Un zu erreichen.
Uout [V]
Die tatsächliche Ausgansspannung
Uout,E [V]
Die Ausgansspannung, wenn anstatt der berechneten Widerstände die nächsten E-Werte verwendet werden.
Uout,E - Usoll [V]
Absoluter Fehler
(Uout,E - Usoll)/Usoll [%]
Relativer Fehler
Δ Uout,E [V]
Spannungsdifferenz zur Spannung eine Zeile darüber.
Rref,E [Ω]
Refereznzwiderstand zum Erzeugen dieser Ausgangsspannung.
∂Uout,E / ∂R0 [V/kΩ]
Partielle Ableitung der Ausgangsspannung Uout,E nach dem Trimmwiderstand R0. Gibt an, wie stark sich die Ausgangsspannung beim Drehen an R0 ändert.
Iout,E [μA]
Strom durch den Spannungsteiler.